[백준] 11729번 : 하노이 탑 이동 순서

문제

세 개의 장대가 있고 첫 번째 장대에는 반경이 서로 다른 n개의 원판이 쌓여 있다. 각 원판은 반경이 큰 순서대로 쌓여있다. 이제 수도승들이 다음 규칙에 따라 첫 번째 장대에서 세 번째 장대로 옮기려 한다.

1. 한 번에 한 개의 원판만을 다른 탑으로 옮길 수 있다.
2. 쌓아 놓은 원판은 항상 위의 것이 아래의 것보다 작아야 한다.

이 작업을 수행하는데 필요한 이동 순서를 출력하는 프로그램을 작성하라. 단, 이동 횟수는 최소가 되어야 한다.

아래 그림은 원판이 5개인 경우의 예시이다.

입력

첫째 줄에 첫 번째 장대에 쌓인 원판의 개수 N (1 ≤ N ≤ 20)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 옮긴 횟수 K를 출력한다.

두 번째 줄부터 수행 과정을 출력한다. 두 번째 줄부터 K개의 줄에 걸쳐 두 정수 A B를 빈칸을 사이에 두고 출력하는데, 이는 A번째 탑의 가장 위에 있는 원판을 B번째 탑의 가장 위로 옮긴다는 뜻이다.

예제 입력 1

3

예제 출력 1

7 1 3
1 2
3 2
1 3
2 1
2 3
1 3

알고리즘 [ 접근방법 ]

굉장히 유명한 하노이의 탑 문제이다.

바로 이전 포스팅인 별찍기 - 10 에서도 사용한 원리처럼 재귀를 통해 ‘가장 작은 단위’가 될 때 까지 재귀호출을 하고 가장 작은 단위가 호출되면 그때부터 return을 해주면 된다.

일반적으로 하노이 탑 원판 이동 횟수 공식은 2ⁿ-1로 잘 알려져 있으므로 이에 대한 자세한 설명은 이미지를 첨부하겠다.

위의 점화식에 따라 N개의 원판을 이동시키는 횟수는 2^N-1이다.

점화식 유도공식은 실제 코드를 짜는데에도 거의 대부분의 아이디어를 제공하는데 이름 그림으로 설명하면 다음과 같다.

N개의 원판이 있다고 가정하자.

#1) 가장 큰 원판을 C로 옮기기 위해서는 n-1개의 원판이 A에서 B로 이동해야 한다.

A에서 B로 가는 것을 Hanoi함수라고 하면 n-1번 반복한다는 의미이다. 이때, 이동 횟수는 Hanoi(n-1)이다.

#2) A에 있는 가장 큰 원판을 C로 옮긴다.
이때 이동횟수는 1회이다.

#3) B에 있는 n-1개의 원판을 C로 이동한다. 앞서 1단계에서 A에서 B로 n-1개의 원판이 이동하는 횟수가 Hanoi(n-1)이였으므로 같은 원리로 B에서 C로 n-1개의 원판이 이동하는 횟수는 Hanoi(n-1)이 된다.

위의 원리를 이용하면 재귀 알고리즘을 작성할 수 있다. 일단 재귀를 통해 가장 작은 단위로 들어가면,
    A에서 B로 원판을 이동하는 경우의
        A에서 B로 원판을 이동하는 경우의
            A에서 B로 원판을 이동하는 경우의
                    …
이렇게 계속 A에서 B로 이동하는 함수를 재귀호출하여 이동해야 할 원판이 1개가 되면 그때 A에서 B로 이동했다는 것을 출력한 뒤 함수를 리턴하면 된다.

풀이

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <math.h>

void Hanoi(int N, int start, int mid, int to) {

	// 이동할 원반의 수가 1개라면?
	if (N == 1) {
		printf("%d %d\n", start, to);
		return;
	}

	Hanoi(N - 1, start, to, mid);
	Hanoi(1, start,mid, to);
	Hanoi(N - 1, mid, start, to);

}



int main() {

	int n = 0;

	scanf("%d", &n);

	int res = pow(2, n) - 1;

	printf("%d\n", res);
	Hanoi(n, 1, 2, 3);

	return 0;
}